수학에서 어떤 내용을 증명하는 중요한 방법중의 하나가 Mathematical Induction(수학적 귀납법)이라는 방법이다.
도미노가 전부 쓰러지게 되는 원리와 비슷한 방법으로 수학적 명제를 증명하는 방법으로 수열과 관련된 어떤 규칙이 성립함을 증명하는 방법에 주로 사용한다. 도미노가 전부 쓰러질 수 있는 원리는 두가지의 원칙인데, 첫번째는 맨 첫번째 블록이 쓰러져야만 한다는 것과, 둘째, 도미노블록들이 촘촘하게 세워져 있어서 어떤 블록이든 하나가 쓰러지면 그 다음 블록이 반드시 쓰러진다는 원칙이 성립해야만 한다.
예를 들어 “1에서 시작하는 연속하는 홀수의 합은 더해진 홀수의 갯수를 제곱한 것과 같다.”라는 명제가 맞는지를 증명하기 위해서 숫자가 1개인 경우, 2개인 경우, 3개인 경우를 각각 1=1, 1+3=4, 1+3+5=9 와 같이 성립함을 보였다고 해서, 갯수가 몇개가 되든지 항상 성립한다고는 볼 수 없기에,
수학적 귀납법은 도미노와 같이, 첫번째 경우, 즉 1개만 있는 경우인 1이 1의 제곱인 1과 같아서 위에서 말한 정리가 성립한다. (S(1)이 True) 라는 것을 보여준 후,
만약 어떤 경우(n=k인 경우) 명제가 성립하면 그 다음(n=k+1인 경우)의 명제 또한 성립함을 보여줌으로써 도미노와 같이 모든 경우에 명제가 성립함을 증명하게 된다.
이때, n=k+1인 경우의 명제 S(k+1)을 증명할 때, 이 식이 증명되었다고 보기 위하여 우리가 만들어야 하는 식이 존재하게 되는데 이를 RTP(Required To Prove)라고 한다.
이 RTP가 무엇인지 모르는 경우에는 어떤 식이 나와 있어도, 어느 방향으로 식을 전개해 가야할지, 무엇을 해야 하는지를 알지 못해 헤매게 되면서 우왕좌왕 하게 된다. 그래서 식의 증명 과정 중에 대부분, 또는 증명해야 할 것이 복잡한 경우 옆에 살짝 이 RTP를 써 놓고 그 목표를 보면서 내가 무엇을 해야 하는지, 내가 나아가야 할 방향이 무엇인지를 확인하면서 그 목표를 향해서 한 스텝, 한 스텝 나아가게 되는 것이다.
학생들에게도 마찬가지이다. 대학진학을 코앞에 둔 11학년(고2), 12학년(고3)이 되어서도 자기가 무엇을 공부할지, 나중에 무엇이 되고 싶은지를 모르는 학생이 허다하다. 그냥 공부하는 셈이다. 그저 시험을 위해 공부를 하는 것 뿐이다. 물론 시험 자체도 공부의 목표가 될 수는 있지만, 자기의 목표(RTP)가 정해져 있는 학생은 공부의 이유와, 공부의 방향이 확실해서 주저함도 망설임도 없이 전진해 간다.
공부를 하는 학생들에게 묻는다.
너의 RTP는 뭐니?
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